La curva cicloide

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Sólido rígido

Movimiento general
de un sólido rígido
Composición de
movimientos
La rueda de Maxwell
Equilibrio 
rotación-traslación
Choque frontal de
dos esferas.
Percusión en una
bola de billar
Fuerza sobre una 
rueda
Rodando por
un plano inclinado
Deformaciones de
la rueda y el plano
Caja sobre un
plano inclinado
Comportamiento
oscilatorio
marca.gif (847 bytes)La curva cicloide
Curvas cicloidales
La rueda cuadrada

 

Trayectoria de un punto del borde de un círculo que rueda sin deslizar

La braquistrocrona

Movimiento Armónico Simple de un cuerpo que rueda sobre una cicloide.

java.gif (886 bytes)Actividades

 

 

La cicloide es una de curvas más importantes en la Física y las Matemáticas, junto a la catenaria y otras curvas. La curva cicloide se encuentra al estudiar varios fenómenos físicos:

 

Trayectoria de un punto del borde de un disco que rueda sin deslizar

La cicloide se produce cuando se hace rodar un disco sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del disco describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del disco le corresponde un arco de la cicloide

cicloide1.gif (3041 bytes)

Si el punto P en el instante inicial está en la parte superior del disco, al cabo de un cierto tiempo t las coordenadas del punto P serán, tal como se muestra en la figura

cicloide2.gif (2695 bytes) x=vc·t+R·senq
y=R-R·
cosq

donde R es el radio del círculo y q el ángulo girado en el tiempo t, q=w·t.

Si el disco rueda sin deslizar, la relación entre la velocidad de traslación del centro de masas vc y de rotación w alrededor de un eje que pasa por el c.m. es vc=w ·R.

La ecuación de la cicloide expresada en términos del parámetro q , es

x=R(q +senq )
y=R(
1-cosq )

 

La braquistrocrona

La cicloide tiene una larga historia ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por  los puntos A y B, pero el tiempo no depende solo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula.

Galileo pensó que el camino debería tener la forma de un arco de circunferencia . Pero los hermanos Bernoulli a principios del siglo XVIII demostraron que el camino debería tener la forma de un arco de cicloide. Desde ese momento la cicloide recibió el nombre de braquistrocrona (palabra griega derivada de tiempo y mínimo).

Las demostraciones de Bernoulli dieron origen algunos años más tarde a una nueva rama de las Matemáticas, el Cálculo Variacional (Euler y después Lagrange formularían las ecuaciones básicas del cálculo de variaciones), que se encarga de buscar las funciones que cumplen que una determinada magnitud sea máxima o mínima.

cicloide3.gif (1838 bytes) Consideremos que un cuerpo desliza sin rozamiento bajando por un tobogán que tiene la forma de la curva de la figura.

Aplicando el principio de conservación de la energía obtenemos la velocidad v del cuerpo cuando ha descendido una altura y

El tiempo que tarda la partícula en recorrer un arco infinitesimal ds en dicha posición es

Tenemos que buscar la forma del tobogán de manera que el tiempo total que emplea la partícula en desplazarse desde A hasta B sea mínimo. Por tanto, es preciso hacer mínima la integral

Teniendo en cuenta que ds2=dx2+dy2, la integral se escribe en función de x e y y sus derivadas.

Empleando el procedimiento de Euler, y teniendo en cuenta que el integrando no es función de x, la solución es

,

Integrando respecto de y

Esta integral se resuelve haciendo la sustitución

con lo que se obtiene

que son de nuevo las ecuaciones paramétricas de una cicloide.

 

Movimiento Armónico Simple de un cuerpo que rueda sobre una cicloide.

En la página titulada rodando por un plano inclinado hemos estudiado el movimiento de un aro, un cilindro y una esfera que bajan rodando a lo largo de un plano inclinado.

Consideremos de nuevo una rueda (aro, cilindro o esfera) de masa m y de radio r y cuyo momento de inercia Ic=k·mr2 siendo k=1 para una rueda en forma de un aro, k=1/2 para un cilindro o disco, y k=2/5 para una esfera.

Las ecuaciones del movimiento de la rueda

Dibujamos las fuerzas sobre el cuerpo que rueda y formulamos las ecuaciones del movimiento

cicloide4.gif (1716 bytes)
  • Movimiento de traslación del centro de masa

mg·senq -Fr=mac

  • Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

Fr·r=Ic·a

  • Condición de movimiento de rodar sin deslizar

ac=a ·r

Despejando en las tres ecuaciones la aceleración ac del c.m.

La ecuación del camino

cicloide5.gif (2658 bytes)

Pongamos la rueda sobre un camino cualesquiera. Para que la rueda describa un MAS es necesario que la aceleración ac de su c.m. sea proporcional al desplazamiento s (arco) y de sentido contrario a éste. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la frecuencia angular w del MAS.

Sea ds un arco infinitesimal en la posición (x, y),

La proyección de ds sobre los ejes horizontal X y vertical Y son, tal como se ve en la figura de la derecha.

Integrando x e y con las condiciones iniciales q =0, x=0, y=0.

que son de nuevo las ecuaciones de una cicloide generada por el círculo de radio R igual a

Hemos demostrado, por tanto, que un aro, un cilindro o una esfera que ruedan a lo largo de un camino en forma de cicloide describen un MAS, y hemos calculado su periodo P.

Si tomamos como radio R del círculo que genera la cicloide la unidad (1 m), y g=9.8 m/s2. Los periodos de las oscilaciones son respectivamente

Cuerpo k Periodo P (s)
aro 1 5.68
cilindro 1/2 4.92
esfera 2/5 4.75

 

Posición de la rueda en función del tiempo.

Cuando un cuerpo describe un MAS su desplazamiento (en este caso el arco s) se expresa en función del tiempo de acuerdo con la ecuación.

s=A·sen(w t+j )

vc=w s0·cos(w t+j)

Donde la amplitud A y la fase inicial j se determina a partir de las condiciones iniciales, en nuestro caso t=0, s=s0, vc=0. La rueda parte de la posición s0 con velocidad inicial cero.

s=s0·sen(w t+p /2)=s0·cos(w ·t)

La velocidad vc del c.m. de la rueda se obtendrá derivando s respecto del tiempo

vc=-w s0·sen(w t)

La longitud del arco s a lo largo del camino que va del origen al punto donde se encuentra la rueda, la podemos relacionar con la posición x e y de la rueda o del ángulo q .

x=R(2q +sen2q )
dx=
2R(1+cos2q )·dq

y=R(1-cos2q )
dy=
2sen2q ·dq

La longitud del arco s será

 

Balance energético

El balance energético es similar al que efectuamos al estudiar el movimiento de un cuerpo que baja rodando por un plano inclinado.

Cuando la rueda se encuentra en la posición dada por el arco s a lo largo de la cicloide, o a una altura y sobre el origen

La energía potencial será

La energía cinética es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por c.m.

donde se ha tenido en cuenta la relación entre ambas velocidades vc=w ·r para que ruede sin deslizar.

La suma de la energía cinética Ek y potencial Ep es constante e igual a

 

Actividades

En el applet se escoge el cuerpo que rueda en la lista titulada Cuerpo.

  • Esfera
  • Cilindro
  • Aro

Se establece su posición inicial mediante la barra de desplazamiento titulada Pos. inicial

Se pulsa el botón titulado Inicio, y a continuación Empieza.

Observamos como el cuerpo rueda sin deslizar por el camino en forma de cicloide. En la parte superior, se muestra el balance energético en un diagrama en forma de tarta. La energía potencial Ep y la energía cinética Ek como suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Para realizar otro ensayo, se pulsa el botón Inicio, se modifican los parámetros (se elige otro cuerpo o se cambia la posición inicial de partida) y se pulsa el botón titulado Empieza.

CinemaApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.