Conservación del momento lineal y angular en las colisiones de dos discos

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Sólido rígido

Conservación del
momento angular
Discos que se
acoplan
Péndulo balístico (II)
Caja que puede
volcar
Choque inelástico
bala-disco en rotación
Choque partícula-
palanca
Choque disco-pared
marca.gif (847 bytes)Choque disco-disco
Choques entre dos discos

java.gif (886 bytes)Actividades

 

En el capítulo de dinámica hemos estudiado las colisiones unidimensionales elásticas e inelásticas tanto desde el punto de vista de un observador situado en el Sistema de Referencia del Laboratorio como del Sistema de Referencia del Centro de Masa. A continuación, procedimos con el estudio de las colisiones bidimensionales. En ambos casos, hemos aplicado el principio de conservación del momento lineal a un sistema aislado de dos partículas interactuantes y a continuación, hemos efectuado el balance energético de la colisión.

Consideremos un sistema aislado de dos partículas interactuantes.

Comprobaremos la conservación del momento lineal y del momento angular en una experiencia simulada de colisión entre dos discos, y efectuaremos el balance energético de dicha colisión.

 

Choque de dos discos

  1. Tenemos un sistema aislado de dos partículas interactuantes. El principio de conservación del momento lineal se escribe
colision6.gif (2671 bytes) colision7.gif (3505 bytes)
  • A lo largo del eje horizontal X

m1u1·senq1+m2u2·senq2=m1v1·senf1+m2v2·senf2

  • A lo largo del vertical Y

-m1u1·cosq1+m2u2·cosq2=m1v1·cosf1-m2v2·cosf2

 

  1. Constancia del momento angular de cada uno de los discos. El momento angular respecto de O antes y después del choque es el mismo

El momento angular de cada uno de los discos se mantiene constante. Ya que las fuerzas que ejerce un disco sobre el otro actúan en el punto de contacto P. El momento de dichas fuerzas respecto de P es cero. De la relación

colision8.gif (3135 bytes)

m1·r1·u1senq1=m1·r1·v1senf1+I1w1

colision9.gif (3261 bytes)

-m2·r2·u2senq2=-m2·r2·v2senf2+I2w2

  1. De la definición de coeficiente de restitución

e(u1cosq1+u2cosq2)= v1cosf1+v2cosf2

 

No hay deslizamiento

Consideremos el caso de que no hay deslizamiento de un disco respecto del otro en el punto de contacto P. Las velocidades de los dos discos en el punto de contacto P serán iguales. Véase la figura anterior

v1senf1-r1 w 1=v2senf2+r2 w2

Sabiendo que el momento de inercia de los discos es I=mr2/2, obtenemos la relación

3v1senf1-2·u1senq1= 3v2senf2-2·u2senq2

 

Hay deslizamiento

colision10.gif (3233 bytes)

La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Dt en el que los discos están en contacto modifica la componente normal del momento lineal del disco. De modo análogo el impulso de la fuerza F modifica la componente X del momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P, vP

De la relación ente ambas fuerzas F=m ·N, obtenemos

m ·(v1cosf1+ u1cosq1)= -v1senf1+ u1senq1

colision11.gif (3162 bytes)

Las fuerzas en el punto de contacto P son iguales y de sentido contrario

De la relación ente ambas fuerzas F=m ·N, obtenemos

m ·(v2cos f2+ u2cosq2)= v2senf2- u2senq2

Resolviendo estas ecuaciones cuando el segundo disco está en reposo, se obtienen las velocidades después del choque v1 y v2, las velocidades angulares de rotación w1 y w2, y los ángulos de desviación de las partículas respecto de la dirección de la velocidad de la partícula incidente. Consultar el artículo

Doménech A, Doménech M.T. Analysis of two-disc collisions. Eur. J. Phys. 14 (1993) 177-183.

En la deducción de las ecuaciones del choque se ha supuesto:

  1. Que las fuerzas normales dependen de las propiedades elásticas de los cuerpos, mientras que las fuerzas tangenciales dependen del rozamiento entre los discos, las cuales dependen del estado de las superficies en contacto.
  2. Que las fuerzas tangenciales y normales son independientes
  3. Que los coeficientes de restitución y de rozamiento son constantes y solamente dependen de la naturaleza de los materiales con los que están hechos los discos.

 

Actividades

En este applet se muestran los resultados obtenidos a partir de las ecuaciones que se deducen en el artículo citado y de los datos de la tabla.

Sin embargo, el objetivo de esta página es el de comprobar mediante un ejemplo la conservación del momento lineal y del momento angular en un sistema aislado de dos partículas interactuantes.

Materiales Coef. restitución e Coef. de rozamiento m
Acero-acero 0.94 0.10
Aluminio-aluminio 0.61 0.12
Latón-latón 0.57 0.11
Acero-latón 0.65 0.10
Aluminio-latón 0.55 0.10
Acero-aluminio 0.62 0.09

Fuente: Doménech A, Doménech M.T. Colisiones inelásticas de esferas. Revista Española de Física 4, 3 (1990) 52-56.

Introducimos los siguientes datos relativos a los dos discos

  • Cociente m2/m1 entre las masa de los discos
  • Cociente r2/r1 entre los radios de los discos
  • Materiales de los que están hechos los discos, véase la tabla

Parámetros iniciales antes del choque

  • Velocidad inicial u1 del primer disco
  • El segundo disco está inicialmente en reposo en el origen
  • Parámetro de impacto, b, un número entre 0 y 2. El valor 0 es para los choques frontales.
  • La velocidad angular inicial de los discos es nula

Pulsando el botón titulado Empieza, observamos el movimiento de los discos antes y después del choque en el Sistema de Referencia del Laboratorio

El programa interactivo calcula:

  • Las velocidades lineales v1 y v2 de los discos después del choque
  • Los ángulos de desviación f1 y f2 de los discos respecto de la dirección del disco incidente.
  • Las velocidades angulares w1 y w2 de los discos después del choque

Con los datos introducidos y calculados por el programa, verificaremos numéricamente el principio de conservación del momento lineal y angular.

 

Ejemplo 1º:

Datos relativos a los discos

  • Cociente m2/m1=1 entre las masa de los discos,
  • Cociente r2/r1=1 entre los radios de los discos
  • Discos ambos de acero, e=0.94 y m =0.10

Antes del choque

  • Velocidad inicial u1=3.5 del primer disco
  • Parámetro de impacto b=1.5.

Después del choque

  • Velocidad del primer disco v1=2.40, dirección f1=39.75º
  • Velocidad del segundo disco v2=2.26, dirección f2=-42.88º
  • Velocidad angular del primer disco w1=-0.45 (sentido de las agujas del reloj)
  • Velocidad angular del segundo disco w2=-0.45

1.- Conservación del momento lineal

colision1.gif (2380 bytes) El momento lineal inicial del primer disco (el segundo está inicialmente en reposo) es igual a la suma vectorial de los momentos lineales de los discos después del choque.

A partir de los datos suministrados por el programa interactivo, se puede comprobar la conservación del momento lineal.

 

2.-Conservación del momento angular

  1. Antes del choque
colision2.gif (2066 bytes) El momento angular inicial tal como podemos ver en la figura es
  • Módulo, L=-m1u1·b (momento lineal por el brazo del momento lineal)
  • Dirección perpendicular al plano de la página
  • Sentido hacia dentro (negativo)

L=-1·3.5·1.5=-5.25

  1. Después del choque
  • El momento angular de traslación del primer disco (de color azul) respecto de O es
colision3.gif (3613 bytes) Descomponemos el momento lineal en su componente horizontal y vertical, y hallamos el momento angular de cada componente.

L1=-4.80

  • Momento angular intrínseco de cada uno de los discos
colision4.gif (2467 bytes) Como los discos están en rotación respecto a su propio eje el momento angular total intrínseco (espín) es

L2=I1w1+ I2 w2

Donde I1 e I2 son los momentos de inercia de cada uno de los discos

L2=-0.5·0.45-0.5·0.45=-0.45

El momento angular total después del choque es el momento angular de traslación más el momento angular intrínseco (espín) de los discos

L=L1+L2

L=-4.80-0.45=-5.25

Con lo que queda comprobadas ambas leyes de conservación

3.-Balance energético

Energía inicial

Ei=6.125

Energía final

Ef=5.535

Un valor menor que la inicial.

 

Ejemplo 2º.

Datos relativos a los discos

  • Cociente m2/m1=2 entre las masa de los discos (m2=2, m1=1)
  • Cociente r2/r1=0.5 entre los radios de los discos (r2=0.5, r1=1)
  • Discos ambos de acero, e=0.94 y m =0.10

Antes del choque

  • Velocidad inicial u1=3.5 del primer disco
  • Parámetro de impacto b=0.2.

Después del choque

  • Velocidad del primer disco v1=1.08, dirección f1=152.71º
  • Velocidad del segundo disco v2=2.24, dirección f2=-6.34º
  • Velocidad angular del primer disco w1=-0.21
  • Velocidad angular del segundo disco w2=-0.21

1.- Conservación del momento lineal

  • Antes del choque

Eje X: 1·3.5=3.5

Eje Y: 0.0

  • Después del choque

Eje X: 1·1.08·cos152.71+2·2.24·cos(-6.34)=3.49

Eje Y: 1·1.08·sen152.71+2·2.24·sen(-6.34)=0.0004 » 0.0

El momento lineal se conserva

2.-Conservación del momento angular

  • Antes del choque

L=-1·3.5·0.2=-0.7

  • Después del choque

Traslación del primer disco:

Rotación de los discos

Los momentos de inercia de los discos son

Por lo que L» L1+L2

3.-Balance energético

 

Ejemplo 3º Choques frontales

Datos relativos a los discos

  • Cociente m2/m1=2 entre las masa de los discos (m2=2, m1=1)
  • Discos ambos de acero, e=0.94

Antes del choque

  • Velocidad inicial u1=3.5 del primer disco
  • Parámetro de impacto b=0.0.

Después del choque

  • Velocidad del primer disco v1=-1.03
  • Velocidad del segundo disco v2=2.26,
  1. Conservación del momento lineal
  • Antes del choque

Eje X: 1.3.5=3.5

  • Después del choque

Eje X: -1·1.03+2·2.26=3.49

Se conserva el momento lineal

  1. Balance energético

Antes del choque

Después del choque

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.